Puntuación Estándar

Valor Crítico o Estandarizado Z

Una puntuación z (o valor estandarizado) es el número de desviaciones estándar que un valor x se encuentra por arriba o por debajo de la media. Se calcula utilizando las siguientes expresiones:

1. Para una muestra z es igual a la diferencia entre un valor x y su media muestral x raya, sobre la desviación estandard s.

2. Para una población z es igual a la diferencia entre x menos la media poblacional mu, sobre la desviación estandar sigma.

Una puntuación z (o valor estandarizado) se calcula convirtiendo un valor a una escala estandarizada, como se establece en la siguiente definición. 

El concepto de valor crítico en proporciones es análogo al de medias, solo que cambia el estimador. En las medias el estimador es X̅ mientras que en las proporciones el estimador es pˆ

Ejemplo de comparación de estaturas:

Con una estatura de 75 pulgadas, Lyndon Johnson fue el presidente de Estados Unidos más alto del siglo

pasado. Con una estatura de 85 pulgadas, Shaquille O’Neal es el jugador más alto del equipo de básquetbol Miami Heat. ¿Quién es relativamente más alto: Lyndon Johnson entre los presidentes del siglo pasado o Shaquille O’Neal entre los jugadores de su equipo Miami Heat? La estatura media de los presidentes del

siglo pasado era de 71.5 pulgadas, con una desviación estándar de 2.1 pulgadas. Los jugadores de ásquetbol del equipo Miami Heat tienen una estatura media de 80.0 pulgadas, con una desviación estándar de 3.3 pulgadas. 

Solución del ejemplo: 

Las estaturas de los presidentes y de los jugadores de básquetbol provienen de poblaciones muy diferentes; para compararlas es necesario estandarizar las estaturas convirtiéndolas en puntuaciones z.

1. Lyndon Johnson: z = (x - mu)/sigma = (75-71.5)/2.1 = 1.67

2. Shaquille O’Neal: z = (x - mu)/sigma = (85-80)/3.3 = 1.52

Interpretación de la Solución:

1. La estatura de Lyndon Johnson está a 1.67 desviaciones estándar por arriba de la media, mientras que la estatura de Shaquille O’Neal está a 1.52 desviaciones estándar por arriba de la media. 

2. La estatura de Lyndon Johnson, entre los presidentes del siglo pasado, es relativamente mayor que la

3. estatura de Shaquille O’Neal entre los jugadores de básquetbol del equipo de Miami Heat. Shaquille O’Neal es mucho más alto que Lyndon Johnson, pero este último es relativamente más alto cuando lo comparamos con sus colegas.

4. En resumen, en esta comparación es Lyndon Johnson quién es más alto.

Principios Z

1. Siempre que un valor sea menor que la media, su puntuación z correspondiente será negativa.

2. Las puntuaciones z son medidas de posición, en el sentido de que describen la localización de un valor (en términos de desviaciones estándar) en relación con la media. 

Una puntuación z de 2 indica que un valor está a dos desviaciones estándar por arriba de la media, en tanto que una puntuación z de -3 indica que un valor está a tres desviaciones estándar por debajo de la media. 

Los cuartiles y los percentiles también son medidas de posición, pero se definen de forma distinta que las puntuaciones z y son útiles para comparar valores dentro del mismo conjunto de datos o entre distintos conjuntos de datos.

Puntuación estándar y distribución estandar

Por lo visto aquí, una puntuación estandar corresponde a una distribución estándar.

Referencias: 

Estadísticas. Mario Triola.