Estadístico de Prueba

Un estadístico de prueba es un valor numérico calculado a partir de los datos de una muestra y se utiliza en las pruebas de hipótesis. 

Este valor nos ayuda a decidir si rechazamos o no una hipótesis nula (H₀) a favor de una hipótesis alternativa (H₁).

El estadístico de prueba es un valor que se utiliza para tomar la decisión sobre la hipótesis nula, y se calcula convirtiendo al estadístico muestral (como la proporción muestral pˆ, la media muestral x, o la desviación estándar muestral s) en una puntuación (como z, t o x2), bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera. 

¿Para qué sirve?

Imagina que quieres saber si la altura promedio de los estudiantes de una universidad es diferente a 170 cm. En este caso:

• Hipótesis nula (H₀): La altura promedio es igual a 170 cm.

• Hipótesis alternativa (H₁): La altura promedio es diferente a 170 cm.

Para tomar una decisión, calculas un estadístico de prueba (por ejemplo, una t de Student) que compara la altura promedio de tu muestra con los 170 cm. Si el valor del estadístico de prueba es muy grande o muy pequeño (en relación a un valor crítico), entonces tienes evidencia para rechazar la hipótesis nula y concluir que la altura promedio es diferente a 170 cm.

• t de Student: Se utiliza para comparar medias cuando la población tiene una distribución normal y la desviación estándar poblacional es desconocida. (Ver pruebas de hipótesis sobre una media.)

• Z: Se utiliza para comparar medias cuando la población tiene una distribución normal y se conoce la desviación estándar poblacional.  (Ver pruebas de hipótesis sobre una media.)

• Chi-cuadrado: Se utiliza para comparar varianzas o para pruebas de independencia en tablas de contingencia. (Ver pruebas de hipótesis sobre una varianza)

• F: Se utiliza para comparar varianzas de dos o más muestras.

Ejemplo General de Uso del Estadístico de Prueba

Para cada tipo de prueba, aquí están los pasos generales:

1. Calcular el Estadístico de Prueba: Usar la fórmula adecuada para la media, proporción o varianza.
   

2. Determinar el Valor Crítico: Obtener el valor crítico de la distribución teórica correspondiente.
   

3. Comparar y Decidir: Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico para tomar una decisión sobre la hipótesis nula.

Razones para Usar el Estadístico de Prueba

1. Comparación con Distribuciones Teóricas: El estadístico de prueba se compara con una distribución teórica (normal, t, Chi-cuadrado, etc.) para determinar la probabilidad de obtener un resultado tan extremo como el observado si la hipótesis nula fuera cierta.
   

2. Determinación de la Región Crítica: El estadístico de prueba ayuda a determinar si el valor observado cae en la región crítica o no, lo que permite decidir si se debería rechazar la hipótesis nula.
   

3. Consistencia y Rigor: Usar el estadístico de prueba asegura que la prueba de hipótesis se realiza de manera consistente y rigurosa, siguiendo las normas estadísticas aceptadas.

En resumen, el estadístico de prueba es una herramienta fundamental en la inferencia estadística que nos permite tomar decisiones sobre poblaciones basadas en muestras. Al calcular y comparar el estadístico de prueba con un valor crítico, podemos evaluar si nuestros datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar una hipótesis nula.

Comparación Directa de la Media Muestral o la Proporción Muestral

En algunos contextos, especialmente con grandes tamaños de muestra, la media muestral puede ser comparada directamente con un intervalo de confianza. Esto es más intuitivo, pero no reemplaza completamente el enfoque basado en el estadístico de prueba. Aquí está cómo hacerlo:

1. Intervalo de Confianza:Calcular un intervalo de confianza para la media poblacional con un cierto nivel de confianza.

2. Comparación Directa:Ver si el valor de la media poblacional bajo la hipótesis nulacae dentro de este intervalo de confianza.

Uso del estadístico de la prueba

1. Proporciones: Puedes usar directamente los valores en contraste para tamaños de muestra grandes y proporciones no extremas, usando la aproximación normal. Para tamaños pequeños o proporciones extremas, el uso de estadísticos de prueba exactos es más preciso.

2. Medias: Usar el estadístico de prueba zzz o ttt proporciona estandarización y precisión, especialmente cuando el tamaño de muestra es pequeño o la desviación estándar no es conocida.

3. Varianzas: Usar el estadístico de prueba chi-cuadrado es necesario para pruebas precisas sobre varianzas, especialmente en muestras pequeñas o cuando la varianza poblacional no es conocida.

El uso del estadístico de prueba es necesario para asegurar precisión y estandarización en la evaluación de hipótesis, especialmente en situaciones con muestras pequeñas, desviaciones estándar desconocidas, o distribuciones no normales. Trabajar directamente con los valores en contraste puede ser conveniente y adecuado en situaciones específicas como proporciones con muestras grandes y no extremas, pero para asegurar la validez de los resultados en una variedad más amplia de condiciones, el uso del estadístico de prueba es generalmente preferible.

Conclusión

Aunque en la práctica puedas visualizar algunos resultados usando gráficos o intervalos de confianza para obtener una intuición, el cálculo y uso del estadístico de prueba es fundamental para una evaluación formal y precisa en cualquier prueba de hipótesis.