En el mundo de la probabilidad y la estadística, la distribución uniforme se presenta como una de las distribuciones de probabilidad más básicas e intuitivas. Se caracteriza por asignar la misma probabilidad a cada evento posible dentro de un rango específico.

Imaginemos que lanzamos una moneda. En este caso, la distribución de probabilidades sería uniforme: tanto cara como cruz tienen la misma probabilidad de salir, es decir, un 50%.

La distribución uniforme se puede clasificar en dos tipos:

1. Distribución uniforme discreta:

• Se aplica a variables aleatorias que solo pueden tomar un número finito de valores.

• Cada valor posible dentro del rango tiene la misma probabilidad de ocurrir.

• Se representa mediante una función de probabilidad que asigna una probabilidad constante a cada valor.

Ejemplo: Seleccionar una carta al azar de una baraja estándar. Cada carta tiene la misma probabilidad de ser elegida (1/52).

2. Distribución uniforme continua:

• Se aplica a variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo continuo.

• La probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre dentro de cualquier subintervalo de igual longitud es constante.

• Se representa mediante una función de densidad de probabilidad que es constante dentro del intervalo y cero fuera de él.

Ejemplo: Medir la altura de los estudiantes en una clase. La altura puede tomar cualquier valor entre cierta altura mínima y máxima, y cada altura dentro de ese rango tiene la misma probabilidad de ocurrir.

Propiedades importantes de la distribución uniforme:

• Moda: La distribución uniforme no tiene una moda única, ya que todos los valores posibles dentro del rango tienen la misma probabilidad.

• Media: La media de la distribución uniforme se calcula como la media del intervalo.

• Varianza: La varianza de la distribución uniforme se calcula como la diferencia al cuadrado de la longitud del intervalo dividido por 12.

Aplicaciones de la distribución uniforme:

• Simulaciones: Se utiliza para generar números aleatorios uniformes, lo cual es útil en simulaciones de diversos fenómenos.

• Modelos estadísticos: Se emplea en modelos estadísticos para representar situaciones donde todos los eventos dentro de un rango tienen la misma probabilidad.

• Teoría de la inferencia: Se utiliza en la inferencia estadística para construir intervalos de confianza y realizar pruebas de hipótesis.

La distribución uniforme, en su simplicidad, resulta ser una herramienta fundamental en diversos campos del conocimiento, desde la estadística y la probabilidad hasta la física y la ingeniería. Su capacidad para modelar situaciones donde todos los eventos dentro de un rango tienen la misma probabilidad la convierte en una herramienta invaluable para comprender y analizar una amplia gama de fenómenos.

La gráfica de una distribución de probabilidad continua, como la que se incluye en las figuras, se llaman curvas de densidad, y debe satisfacer dos propiedades similares a los requisitos de las distribuciones de probabilidad discretas, tal como se plantea en la definición y puede verse en el ejemplo.

Ejemplo

Duración de la clase  Un profesor de estadística planea sus clases con tanto cuidado que sus duraciones están distribuidas uniformemente entre 50.0 y 52.0 min. Esto es, cualquier tiempo entre 50.0 y 52.0 min es posible, y todos los valores posibles tienen la misma proba bilidad. 

Si seleccionamos aleatoriamente una de las clases y permitimos que x sea la variable aleatoria que representa la duración de esa clase, entonces x tiene una distribución que puede graficarse como en la figura.

Kim, quien tiene el hábito de vivir siempre de prisa, se comprometió a acudir a una entrevista de trabajo inme diatamente después de su clase de estadística. Si la clase dura más de 51.5 minutos, llegará tarde a la entrevista de trabajo. Dada la distribución uniforme de la table y de lafigura, calcule la probabilidad de que una clase seleccionada al azar dure más de 51.5 minutos.

Solución 

Observe la figura, donde la región en rojo representa duraciones mayores de 51.5 minutos. Puesto que el área total bajo la curva de densidad es igual a 1, existe una correspondencia entre área y probabilidad. Por lo tanto, podemos calcular la probabilidad deseada utilizando áreas de la siguiente manera:

• P(clase con duración mayor de 51.5 minutos)  = área de región sombreada de la figura.

• Base por altura = 5 0.5 x 0.5 = 0.25

Referencias

La Distribución Uniforme está desarrollada en Python/Scipy en mi repositorio github.

El ejemplo de Duración de la clase está desarrollado en python en mi repositorio github.

Estadísticas - Mario Triola