Distribución de Estadísticos

Distribuciones y estimadores muestrales

En estadística, resulta útil acostumbrarse a interpretar tanto las distribuciones muestrales de una variable como la distribución muestral de los estadísticos de las muestras.

Estudiar los estadísticos de las muestras implica estudiar el comportamiento de todas, o al menos más de una muestra de una población.

Definamos entonces, en primer lugar, de que hablamos cuando hablamos de distribuciones muestrales de estadísticos.

Distribución muestral de un estadístico

La distribución muestral de un estadístico (como una proporción muestral o una media muestral) es la distribución de todos los valores del estadístico cuando se obtienen todas las muestras posibles del mismo tamaño n de la misma población.

Valor de un estadístico y variabilidad de muestreo

El valor de un estadístico, como la media muestral x, depende de los valores particulares incluidos en la muestra y generalmente varía de una mues- tra a otra. Esta variabilidad de un estadístico se denomina variabilidad de muestreo.

En función de la menor o mayor variabilidad de muestreo es la calidad de un estadístico. La experiencia estadística nos dice en este sentido que:

1. Estadísticos que coinciden con los parámetros poblacionales: media, varianza, proporción

2. Estadísticos que no coinciden con los parámetros poblacionales: mediana, rango, desviación estándar

• La distribución muestral de un estadístico generalmente se representa como la distribución de probabilidad en el formato de tabla, histograma de probabilidad o fórmula.

• Las distribuciones meustrales más comunes y sobre las que conviene aprender son en consecuencia:

1. Distribución muestral de la proporción.

2. Distribución muestral de la media

Distribución de proporciones

La distribución muestral de la proporción es la distribución de probabilidad de proporciones muestrales, donde todas las muestras tienen el mismo tamaño muestral n y provienen de la misma población.

Distribución de las medias

La distribución muestral de la media es la distribución de medias muestrales, donde todas las medias tienen el mismo tamaño muestral n y se obtienen de la misma población. 

• La distribución muestral de la media generalmentese representa como una distribución de probabilidad en formato de tabla, histograma de probabilidad o fórmula.

Muestreo con y sin reemplazo

Para muestras pequeñas como las que hemos considerado hasta ahora en esta sección, el muestreo sin reemplazo tiene la ventaja práctica de evitar una duplicación inútil, siempre que se selecciona el mismo elemento más de una vez. Sin embargo, estamos particularmente interesados en el muestreo con reemplazo por las siguientes razones: 

1. Cuando se selecciona una muestra relativamente pequeña de una población grande, no hay gran diferencia si realizamos el muestreo con reemplazo o sin él. 

2. El muestreo con reemplazo da como resultado sucesos independientes que no se ven afectados por resultados previos, y los sucesos independientes son más fáciles de analizar y derivan en fórmulas más simples. 

Por lo tanto, muchas veces nos enfocamos en el comportamiento de muestras seleccionadas aleatoriamente con reemplazo. 

El aspecto más importante aquí, es analizar el concepto de distribución muestral de un estadístico. 

Ejemplo: Distribución de la temperatura corporal.

Considere el objetivo de tratar de calcular la temperatura corporal media de todos los adultos.

Puesto que la población es demasiado grande, no es práctico medir la temperatura de cada adulto. En vez de ello, obtenemos una muestra de temperaturas corporales y la utilizamos para estimar la media poblacional. 

Las conclusiones que hacemos acerca de la temperatura media poblacional de todos los adultos requieren que comprendamos el comportamiento de la distribución muestral de todas las medias muestrales de este tipo. Aunque no es práctico obtener cada muestra posible y nos conformemos con una sola muestra, podemos extraer algunas conclusiones muy importantes y significativas acerca de la población de todas las temperaturas corporales. 

Uno de los objetivos principales de los estadístas es aprender el uso eficaz de una muestra para obtener conclusiones acerca de una población.